Господа!
Публикую "Техническое задание" - наш с Квеном труд.

ТЕХНИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ
Проект "Symmetric 27-tuplets"
Поиск симметричного кортежа из 27 последовательных простых чисел

Автор проекта Наталия Макарова.
________________________________________
1. Описание задачи

Найти симметричный кортеж из 27 последовательных простых чисел с минимальным диаметром d = 432, удовлетворяющий условию преемственности для всех вложенных центральных кортежей от длины 25 до длины 3.
Кортеж имеет следующий паттерн: 0, 6, 12, 36, 90, 96, 102, 120, 132, 162, 180, 186, 210, 216, 222, 246, 252, 270, 300, 312, 330, 336, 342, 396, 420, 426, 432
________________________________________
2. Определения
2.1
Definition 1 A prime k-tuple is a finite collection of values (p + a₁, p + a₂, p + a₃, …, p + aₖ), where p, p + a₁, p + a₂, p + a₃, …, p + aₖ are prime numbers, (a₁, a₂, a₃, …, aₖ) are pattern. Typically the first value in the pattern is 0 and the rest are distinct positive even numbers. [1] We consider the k-tuple, where p + a₁, p + a₂, p + a₃, ..., p + aₖ are consecutive primes.
Definition 2 k-tuple (p + a₁, p + a₂, p + a₃, ..., p + a[k/2], p + a[k/2+1], ..., p + a[k-2], p + a[k-1], p + aₖ) for k even, is called symmetric, if the following condition is satisfied: a₁ + aₖ = a₂ + a[k-1] = a₃ + a[k-2] = … = a[k/2] + a[k/2+1]
Example: symmetric 8-tuple: (17 + 0, 17 + 2, 17 + 6, 17 + 12, 17 + 14, 17 + 20, 17 + 24, 17 + 26)
Shortened we write this: 17: 0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26
Definition 3 k-tuple (p + a₁, p + a₂, p + a₃, ..., p + a[(k-1)/2], p + a[(k-1)/2+1], p + a[(k-1)/2+2], ..., p + a[k-2], p + a[k-1], p + aₖ) for k odd called symmetric, if the following condition is satisfied: a₁ + aₖ = a₂ + a[k-1] = a₃ + a[k-2] = … = a[(k-1)/2] + a[(k-1)/2+2] = 2a[(k-1)/2+1]
Example: symmetric 5-tuple: 18713: 0, 6, 18, 30, 36
Definition 4 The diameter d of k-tuple is the difference of its largest and smallest elements. [1]
Example: 8-tuple: 17: 0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26 It has a diameter d = 26.
Источник [1].
2.2 Преемственный паттерн
Симметричный паттерн длины k называется преемственным относительно симметричного паттерна длины k-2, если исходный паттерн содержит подпаттерн длины k-2.
Пример:
Паттерн 27-tuplet: 0, 6, 12, 36, 90, 96, 102, 120, 132, 162, 180, 186, 210, 216, 222, 246, 252, 270, 300, 312, 330, 336, 342, 396, 420, 426, 432
преемственный относительно паттерна: 0, 6, 30, 84, 90, 96, 114, 126, 156, 174, 180, 204, 210, 216, 240, 246, 264, 294, 306, 324, 330, 336, 390, 414, 420
так как этот паттерн является подпаттерном исходного паттерна.
Аналогично определяется преемственность относительно паттерна длин k-4, k-6 и т.д.
Мы рассматриваем только симметричные подпаттерны.
2.3 В данном проекте рассматриваются только кортежи из последовательных простых чисел, то есть такие кортежи, в которых между элементами, соответствующими паттерну, нет других простых чисел.
________________________________________
3. Целевой паттерн

Паттерн 27-tuplet:

0, 6, 12, 36, 90, 96, 102, 120, 132, 162, 180, 186, 210, 216, 222, 246, 252, 270, 300, 312, 330, 336, 342, 396, 420, 426, 432

Этот паттерн уникален по своей преемственности и имеет минимальный диаметр среди всех возможных симметричных 27-паттернов.
Источник [2].
3.1 Цепочка преемственности

27-ка (d=432) → 25-ка (d=420) → 23-ка (d=408) → 21-ка (d=360) → 19-ка (d=252) → 17-ка (d=240) → 15-ка (d=228) → 13-ка (d=192) → 11-ка (d=168) → 9-ка (d=108) → 7-ка (d=72) → 5-ка (d=60) → 3-ка (d=12)
Все эти паттерны вложены друг в друга, как матрёшки.
________________________________________
4. Рабочий алгоритм

Автором предлагаемого алгоритма является Наталия Макарова.
4.1 Генерация добавок

Для генерации добавок используется Китайская теорема об остатках. Добавки генерируются однократно и сохраняются в файле для последующего использования в поиске кандидатов.
4.2 Генерация кандидатов

Кандидаты находятся по следующей формуле:
X = k • 37# + dob
где:
k = 0, 1, 2, 3, ... (номер периода)
37# = 7420738134810 (примориал)
dob — добавка
4.3 Проверка кандидатов

Для каждого кандидата X проверяется наличие центрального 11-tuplet из последовательных простых чисел. Это необходимое условие существования полного 27-tuplet.
Центральный 11-tuplet имеет следующий подпаттерн:

132, 162, 180, 186, 210, 216, 222, 246, 252, 270, 300

или в нормализованном виде:

0, 30, 48, 54, 78, 84, 90, 114, 120, 138, 168

.
4.4 Реализованный алгоритм (PARI/GP)

\\ ПОИСК  11-К В 27-КЕ НА ПЕРИОДЕ 37# С ГОТОВЫМИ ДОБАВКАМИ
\l 27period37_res.txt;
default(timer,1);
allocatemem(2^28);

{pt=[0, 6, 12, 36, 90, 96, 102, 120, 132, 162, 180, 186, 210, 216, 222, 246, 252, 270, 300, 312, 330, 336, 342, 396, 420, 426, 432];
pt11=[0, 30, 48, 54, 78, 84, 90, 114, 120, 138, 168];
\\w = 37;
period=7420738134810; print("period = ",period);
np1=10817938347951;
np2=10817938367950;
vmy = vector(70);
pat11 = vector(11);
res = read("dob27P37.bin");
print("number form = ",#res);
for(k = np1, np2,
  base = k * period;
  for(i = 1, #res,
    bpt = base + res[i];
    
    \\ начало поиска 11-к
      if(ispseudoprime(bpt+pt[9]) && ispseudoprime(bpt+pt[19]),
      l=0; 
      forprime(p=bpt+pt[9],bpt+pt[19], l++; vmy[l]=p; );
      if(l==11,
      for(m=2,11, pat11[m]=vmy[m]-vmy[1]; );
      if(pat11==pt11, print(vmy[1],": ",pat11); ); 
      ); \\ if l==11
    ); \\ if ispseudoprime
  );
);
}

________________________________________
5. Требования к реализации

5.1 Обязательные требования
Поиск кортежей именно из последовательных простых чисел.
Использование уникального преемственного 27-паттерна с диаметром d = 432.
Проверка центрального 11-tuplet как необходимого условия.
При нахождении центрального 11-tuplet — продолжение проверки до полной 27-tuplet.
5.2 Организация перебора
Интервал поиска задаётся номерами периодов np1 и np2.
Перебор ведётся строго последовательно, в порядке возрастания k с шагом 1:
k = np1, np1+1, np1+2, ..., np2
Для расширения диапазона поиска достаточно изменить границы np1 и np2.
5.3 Параллелизация поиска
Поиск легко распараллеливается одним из двух способов:
1) Многопоточная реализация — разные потоки обрабатывают разные интервалы для k внутри одной программы.
2) Запускается несколько экземпляров программы, каждому из которых задаётся свой интервал для k.
Любой из этих способов существенно ускоряет поиск, поскольку периоды перебираются независимо друг от друга и не требуют обмена данными между задачами.
________________________________________
6. Ожидаемые результаты
Участники проекта могут предоставить:
Альтернативные алгоритмы поиска.
Оптимизированные реализации на любом языке программирования.
Распределённые решения (BOINC, MPI и т. д.).
Сравнение производительности с базовым алгоритмом.
________________________________________
7. Критерии успеха
Корректность: нахождение валидных 27-tuplets из последовательных простых чисел.
Скорость: существенное ускорение по сравнению с базовой реализацией.
Масштабируемость: возможность эффективного поиска в больших диапазонах за счёт параллелизации.
________________________________________
8. Примечания
Все найденные центральные 11-tuplets будут включены в полную базу данных центральных 11-tuplets. [3]
Нахождение одного симметричного 27-tuplet автоматически зафиксирует для науки четыре новых симметричных кортежа, до сих пор не найденных:
21-tuplet с паттерном:
0, 54, 60, 66, 84, 96, 126, 144, 150, 174, 180, 186, 210, 216, 234, 264, 276, 294, 300, 306, 360;
23-tuplet с паттерном:
0, 24, 78, 84, 90, 108, 120, 150, 168, 174, 198, 204, 210, 234, 240, 258, 288, 300, 318, 324, 330, 384, 408;
25-tuplet с паттерном:
0, 6, 30, 84, 90, 96, 114, 126, 156, 174, 180, 204, 210, 216, 240, 246, 264, 294, 306, 324, 330, 336, 390, 414, 420, с минимальным диаметром;
27-tuplet с паттерном:
0, 6, 12, 36, 90, 96, 102, 120, 132, 162, 180, 186, 210, 216, 222, 246, 252, 270, 300, 312, 330, 336, 342, 396, 420, 426, 432, с минимальным диаметром.
________________________________________

Веб-источники

[1] Carlos Rivera. "Problem 62. Symmetric k-tuples of consecutive primes." The Prime Puzzles & Problems Connection.
https://www.primepuzzles.net/problems/prob_062.htm
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
https://oeis.org/A266512/a266512_1.txt
[3] Форум BOINC-проекта ODLK2025. Составление полной БД центральных 11-к.
https://boinc.mak.termit.me/odlk2025/forum_thread.php?id=81
[4] Wikipedia. "Prime k-tuple."
https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_k-tuple
[5] Форум dxdy.ru. "Симметричные кортежи из последовательных простых чисел".
https://dxdy.ru/topic100750-270.html
[6] Prime k-tuplets & Primzahlen
https://pzktupel.de/ktuplets.php
_______________________________________________________________________

Техническое задание составлено автором проекта и ИИ-ассистентом Qwen3.8-Max 7 августа 2026 г.

---

The TBEG BOINC project maintains the database
https://boinc.tbrada.eu/spt/explore.php

Позже опубликую перевод (сделанный Квеном) Технического задания на английский язык.

А пока прошу ваши замечания и вопросы.

Если вы не можете писать на форуме, пишите, пожалуйста, в домашнюю почту.
Адрес не изменился
natalimak1@yandex.ru

---

The TBEG BOINC project maintains the database
https://boinc.tbrada.eu/spt/explore.php

Итак, господа. публикую перевод Технического задания, сделанный Квеном, на английский язык.

TECHNICAL SPECIFICATION
Project "Symmetric 27-tuplets"
Search for a symmetric tuple of 27 consecutive prime numbers
Project author: Natalia Makarova.

1. Problem Description
Find a symmetric tuple of 27 consecutive prime numbers with minimal diameter d = 432, satisfying the succession condition for all nested central tuples from length 25 down to length 3.
The tuple has the following pattern:
0, 6, 12, 36, 90, 96, 102, 120, 132, 162, 180, 186, 210, 216, 222, 246, 252, 270, 300, 312, 330, 336, 342, 396, 420, 426, 432

2. Definitions
2.1
Definition 1
A prime k-tuple is a finite collection of values (p + a₁, p + a₂, p + a₃, …, p + aₖ), where p, p + a₁, p + a₂, p + a₃, …, p + aₖ are prime numbers, (a₁, a₂, a₃, …, aₖ) are pattern. Typically the first value in the pattern is 0 and the rest are distinct positive even numbers. [1]
We consider the k-tuple, where p + a₁, p + a₂, p + a₃, ..., p + aₖ are consecutive primes.

Definition 2
k-tuple (p + a₁, p + a₂, p + a₃, ..., p + a[k/2], p + a[k/2+1], ..., p + a[k-2], p + a[k-1], p + aₖ) for k even, is called symmetric, if the following condition is satisfied:
a₁ + aₖ = a₂ + a[k-1] = a₃ + a[k-2] = … = a[k/2] + a[k/2+1]
Example:
symmetric 8-tuple: (17 + 0, 17 + 2, 17 + 6, 17 + 12, 17 + 14, 17 + 20, 17 + 24, 17 + 26)
Shortened we write this:
17: 0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26

Definition 3
k-tuple (p + a₁, p + a₂, p + a₃, ..., p + a[(k-1)/2], p + a[(k-1)/2+1], p + a[(k-1)/2+2], ..., p + a[k-2], p + a[k-1], p + aₖ) for k odd called symmetric, if the following condition is satisfied:
a₁ + aₖ = a₂ + a[k-1] = a₃ + a[k-2] = … = a[(k-1)/2] + a[(k-1)/2+2] = 2a[(k-1)/2+1]
Example:
symmetric 5-tuple:
18713: 0, 6, 18, 30, 36

Definition 4
The diameter d of k-tuple is the difference of its largest and smallest elements. [1]
Example:
8-tuple: 17: 0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26
It has a diameter d = 26.
Source [1].
2.2 Successive Pattern
A symmetric pattern of length k is called successive with respect to a symmetric pattern of length k-2, if the original pattern contains a subpattern of length k-2.
Example:
The 27-tuplet pattern:
0, 6, 12, 36, 90, 96, 102, 120, 132, 162, 180, 186, 210, 216, 222, 246, 252, 270, 300, 312, 330, 336, 342, 396, 420, 426, 432
is successive with respect to the pattern:
0, 6, 30, 84, 90, 96, 114, 126, 156, 174, 180, 204, 210, 216, 240, 246, 264, 294, 306, 324, 330, 336, 390, 414, 420
since this pattern is a subpattern of the original pattern.
Similarly, succession is defined with respect to patterns of lengths k-4, k-6, etc.
We consider only symmetric subpatterns.

2.3 This project considers only tuples of consecutive prime numbers, that is, tuples in which there are no other prime numbers between the elements corresponding to the pattern.

3. Target Pattern
The 27-tuplet pattern:
0, 6, 12, 36, 90, 96, 102, 120, 132, 162, 180, 186, 210, 216, 222, 246, 252, 270, 300, 312, 330, 336, 342, 396, 420, 426, 432
This pattern is unique in its succession property and has the minimal diameter among all possible symmetric 27-patterns.
Source [2].

3.1 Succession Chain
27-tuplet (d=432) → 25-tuplet (d=420) → 23-tuplet (d=408) → 21-tuplet (d=360) → 19-tuplet (d=252) → 17-tuplet (d=240) → 15-tuplet (d=228) → 13-tuplet (d=192) → 11-tuplet (d=168) → 9-tuplet (d=108) → 7-tuplet (d=72) → 5-tuplet (d=60) → 3-tuplet (d=12)
All these patterns are nested like matryoshka dolls.

4. Working Algorithm
The author of the proposed algorithm is Natalia Makarova.

4.1 Additive Generation
Additives are generated using the Chinese Remainder Theorem.
Additives are generated once and stored in a file for subsequent use in candidate search.
4.2 Candidate Generation
Candidates are found using the following formula:
X = k • 37# + dob
where:
k = 0, 1, 2, 3, ... (period number)
37# = 7420738134810 (primorial)
dob — additive

4.3 Candidate Verification
For each candidate X, the presence of a central 11-tuplet of consecutive prime numbers is verified. This is a necessary condition for the existence of a complete 27-tuplet.
The central 11-tuplet has the following subpattern:
132, 162, 180, 186, 210, 216, 222, 246, 252, 270, 300
or in normalized form:
0, 30, 48, 54, 78, 84, 90, 114, 120, 138, 168

4.4 Implemented Algorithm (PARI/GP)

\\ ПОИСК  11-К В 27-КЕ НА ПЕРИОДЕ 37# С ГОТОВЫМИ ДОБАВКАМИ
\l 27period37_res.txt;
default(timer,1);
allocatemem(2^28);

{pt=[0, 6, 12, 36, 90, 96, 102, 120, 132, 162, 180, 186, 210, 216, 222, 246, 252, 270, 300, 312, 330, 336, 342, 396, 420, 426, 432];
pt11=[0, 30, 48, 54, 78, 84, 90, 114, 120, 138, 168];
\\w = 37;
period=7420738134810; print("period = ",period);
np1=10817938347951;
np2=10817938367950;
vmy = vector(70);
pat11 = vector(11);
res = read("dob27P37.bin");
print("number form = ",#res);
for(k = np1, np2,
  base = k * period;
  for(i = 1, #res,
    bpt = base + res[i];
    
    \\ начало поиска 11-к
      if(ispseudoprime(bpt+pt[9]) && ispseudoprime(bpt+pt[19]),
      l=0; 
      forprime(p=bpt+pt[9],bpt+pt[19], l++; vmy[l]=p; );
      if(l==11,
      for(m=2,11, pat11[m]=vmy[m]-vmy[1]; );
      if(pat11==pt11, print(vmy[1],": ",pat11); ); 
      ); \\ if l==11
    ); \\ if ispseudoprime
  );
);
}

5. Implementation Requirements

5.1 Mandatory Requirements
Search for tuples specifically of consecutive prime numbers.
Use the unique successive 27-pattern with diameter d = 432.
Verify the central 11-tuplet as a necessary condition.
Upon finding a central 11-tuplet, continue verification up to the complete 27-tuplet.

5.2 Search Organization
The search interval is specified by period numbers np1 and np2.
The search is conducted strictly sequentially, in ascending order of k with step 1:
k = np1, np1+1, np1+2, ..., np2
To extend the search range, it is sufficient to change the boundaries np1 and np2.

5.3 Search Parallelization

The search is easily parallelized using one of two methods:
Multithreaded implementation — different threads process different intervals for k within a single program.
Multiple independent program instances — several copies are launched, each assigned its own interval for k.
Either of these methods significantly accelerates the search, since periods are processed independently and do not require data exchange between tasks.

6. Expected Results

Project participants may provide:
Alternative search algorithms.
Optimized implementations in any programming language.
Distributed solutions (BOINC, MPI, etc.).
Performance comparison with the base algorithm.

7. Success Criteria

Correctness: finding valid 27-tuplets of consecutive prime numbers.
Speed: significant acceleration compared to the base implementation.
Scalability: ability to efficiently search large ranges through parallelization.

8. Notes

All found central 11-tuplets will be included in the complete database of central 11-tuplets. [3]
Finding one symmetric 27-tuplet will automatically establish for science four new symmetric tuples not yet found:
21-tuplet with pattern:

0, 54, 60, 66, 84, 96, 126, 144, 150, 174, 180, 186, 210, 216, 234, 264, 276, 294, 300, 306, 360

;
23-tuplet with pattern:

0, 24, 78, 84, 90, 108, 120, 150, 168, 174, 198, 204, 210, 234, 240, 258, 288, 300, 318, 324, 330, 384, 408

;
25-tuplet with pattern:

0, 6, 30, 84, 90, 96, 114, 126, 156, 174, 180, 204, 210, 216, 240, 246, 264, 294, 306, 324, 330, 336, 390, 414, 420

, with minimal diameter;
27-tuplet with pattern:

0, 6, 12, 36, 90, 96, 102, 120, 132, 162, 180, 186, 210, 216, 222, 246, 252, 270, 300, 312, 330, 336, 342, 396, 420, 426, 432

, with minimal diameter.

Web Sources

[1] Carlos Rivera. "Problem 62. Symmetric k-tuples of consecutive primes." The Prime Puzzles & Problems Connection.
https://www.primepuzzles.net/problems/prob_062.htm
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
https://oeis.org/A266512/a266512_1.txt
[3] BOINC project ODLK2025 forum. Compiling a complete database of central 11-tuplets.
https://boinc.mak.termit.me/odlk2025/forum_thread.php?id=81
[4] Wikipedia. "Prime k-tuple."
https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_k-tuple
[5] dxdy.ru forum. "Symmetric tuples of consecutive prime numbers."
https://dxdy.ru/topic100750-270.html
[6] Prime k-tuplets & Primzahlen
https://pzktupel.de/ktuplets.php
__________________________________________________

The technical specifications were compiled by the project author and the AI ​​assistant Qwen3.8-Max on August 7, 2026.

---

The TBEG BOINC project maintains the database
https://boinc.tbrada.eu/spt/explore.php

Ну вот, всё готово, чтобы начинать работать.

Господа!
Отмечу важный момент: вы можете предложить Техническое задание какому-либо ИИ для анализа, рекомендаций, разработки нового подхода к решению задачи и программной реализации этого подхода.
Просто о-ч-е-н-ь интересно, что выдаст какой-нибудь крутой ИИ по этому Техническому заданию.

Дальше я расскажу некоторые интересные моменты.

---

The TBEG BOINC project maintains the database
https://boinc.tbrada.eu/spt/explore.php

Как выбирался диапазон поиска

Из симметричных кортежей нечётной длины из последовательных простых чисел самый длинный у нас - это 19-ка с минимальным диаметром (найдены также три 19-ки с другими диаметрами)

9425346484752129657862217: [0, 6, 12, 30, 42, 72, 90, 96, 120, 126, 132, 156, 162, 180, 210, 222, 240, 246, 252]

Это решение было найдено г, Петуховым 6 января 2025 г.
Опубликовано на форуме dxdy.ru.

При этом г. Петухов утверждает, что найденный кортеж минимальный.

Так вот, паттерн искомой 27-ки преемственный к паттерну показанной 19-ки с минимальным диаметром.
Следовательно, 27-ка не может начинаться с числа, меньшего начального числа показанной 19-ки.
Вот на основе этого факта и выбирался диапазон поиска 27-ки.

---

The TBEG BOINC project maintains the database
https://boinc.tbrada.eu/spt/explore.php

Запустив программу поиска центральных 11-к в 27-ке на Ахиллесе, я была немало удивлена, что их пока нету ни одной!

Вот такой фокус!
Решила поискать на своей черепашке центральные 9-ки.
Покрутила немного программу, нет и 9-к!
Ещё больше удивилась и запустила поиск центральных семёрок.
Ну, семёрки попались сразу.
Например:

80277087368261653996770661: [0, 6, 30, 36, 42, 66, 72]
80277087368273694698313271: [0, 6, 30, 36, 42, 66, 72]

Итак, искомая 27-ка очень притязательна к центральным кортежам - не так-то просто они складываются в ней.

Программа у меня работает на Ахиллесе и сейчас.
Центральных 11-к по-прежнему не найдено.

---

The TBEG BOINC project maintains the database
https://boinc.tbrada.eu/spt/explore.php

Следующий очень важный момент.

Найдя центральную 11-ку, нам нужно проверить её на продолжения.
При этом продолжения нужны все: до центральных 13-ки, 15-ки, до ключевой 17-ки, до 19-ки с минимальным диаметром, до 21-ки, 23-ки; до 25-ки с минимальным диаметром и, наконец, до 27-ки с минимальным диаметром.
Найденная центральная 11-ка может оказаться однократно матрёшечной, то есть продолжиться только до центральной 13-ки.
А может оказаться n-кратно матрёшечной.
Продолжение до 27-ки - это восьмикратно матрёшечная центральная 11-ка.
Ну, а вдруг до 21-ки продолжится - пятикратно матрёшечная.
Это тоже будет замечательно!

Написать скрипт для проверки на продолжения очень просто.

Но если вдруг вы найдёте центральные 11-ки в 27-ке, сразу шлите их мне, я проверю.

И ещё важно заметить: продолжения могут оказаться не только до перечисленных центральных кортежей.
Например, центральная 11-ка может продолжиться до 13-ки с другим диаметром (не центральной).
Точно так же и все другие продолжения.

Сейчас я не собираю продолжения центральных 11-к до 13-к с другими диаметрами, а их довольно много получается.

Так что, надо следить за всеми продолжениями.
Главное - найти как можно больше центральных 11-к.

---

The TBEG BOINC project maintains the database
https://boinc.tbrada.eu/spt/explore.php

А теперь расскажу вам интереснейший факт!

В действующем BOINC-проекте ODLK2025 в Приложении 3 (Calc21Tuples) ищутся центральные кортежи. начиная с центральной 9-ки, в 30 преемственных паттернах 21-к.

Среди этих паттернов есть и этот

0, 54, 60, 66, 84, 96, 126, 144, 150, 174, 180, 186, 210, 216, 234, 264, 276, 294, 300, 306, 360

Так вот, центральных 9-к находится довольно много, а центральных 11-к - о-ч-е-н-ь мало!
Смотрите тему "Банк центральных 11-к"
https://boinc.mak.termit.me/odlk2025/forum_thread.php?id=47

Таким образом. проблема с центральными 11-ми начинается уже в 21-х, а в 27-ке она становится более острой.

---

The TBEG BOINC project maintains the database
https://boinc.tbrada.eu/spt/explore.php

Иногда в BOINC-проекте даже матрёшечные центральные 11-ки находятся.

Вот пример

73598422893702612722730883: [0,30,48,54,78,84,90,114,120,138,168]
 [0,48,144,150,168,180,210,228,234,258,264,270,294,300,318,348,360,378,384,480,528]

После центральной 11-ки показан паттерн 21-ки, в которой она сидит.

Эта центральная 11-ка продолжается до следующей центральной 13-ки

73598422893702612722730871: [0,12,42,60,66,90,96,102,126,132,150,180,192]

Смотрите сообщение
https://boinc.mak.termit.me/odlk2025/forum_thread.php?id=47&postid=1886

Про центральную 15-ку не помню, вроде была одна найдена.
То, что одна центральная 15-ка была найдена, помню, но не помню, в каком Приложении.

---

The TBEG BOINC project maintains the database
https://boinc.tbrada.eu/spt/explore.php

Вот нашла у себя в рабочем файле приближение к 21-ке с тем самым преемственным паттерном

0, 54, 60, 66, 84, 96, 126, 144, 150, 174, 180, 186, 210, 216, 234, 264, 276, 294, 300, 306, 360

95800227983807132285113: [0, 6, 40, 66, 84, 96, 126, 144, 150, 174, 180, 186, 210, 216, 234, 264, 276, 294, 300, 316, 360]
95800227983807132285113: [0, -48, -20, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 10, 0]
95800227983807132285113: [1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1]
valids=18
code=131070

Возможно, здесь и сидит найденная в BOINC-проекте центральная 15-ка.

Я выкладывала результаты BOINC-проекта ODLK2025 на форуме BOINC-проекта ОДЛК.
Сейчас мне этот форум недоступен, так что не могу проверить, но очень похоже.

Смотрите, как близко подошли здесь к 21-ке!
Всего три "дырки".
И центральная 11-ка в 21-ке сидит дважды матрёшечная.
Очень интересный результат!

Так что, шансы найти 21-ку есть.
Проверяются 30 преемственных паттернов 21-ки.
Какой-нибудь да сложится.

Кстати, эти 30 преемственных паттернов нашёл gris по моему ТЗ.

---

The TBEG BOINC project maintains the database
https://boinc.tbrada.eu/spt/explore.php

А это свежая центральная 11-ка, найденная в 21-ке с тем же преемственным паттерном

80277087362262736231601893: [0,30,48,54,78,84,90,114,120,138,168]
 [0,54,60,66,84,96,126,144,150,174,180,186,210,216,234,264,276,294,300,306,360]

Эта центральная 11-ка не матрёшечная - для продолжения до центральной 13-ки.
Как я уже писала выше, центральные 11-ки могут продолжиться до 13-ки с другим диаметром (не центральной).

На другие продолжения эта центральная 11-ка не проверялась.

---

The TBEG BOINC project maintains the database
https://boinc.tbrada.eu/spt/explore.php

Покажу таблицу разрешённых остатков для искомой 27-ки на периоде 37#

pt=[0, 6, 12, 36, 90, 96, 102, 120, 132, 162, 180, 186, 210, 216, 222, 246, 252, 270, 300, 312, 330, 336, 342, 396, 420, 426, 432];

v2=[1];
v3=[1, 2]; \\2
v5=[1, 2]; \\2
v7=[4, 5]; \\2
v11=[2, 6]; \\2
v13=[4, 6]; \\2
v17=[13, 14]; \\2
v19=[8, 16]; \\2
v23=[12, 16]; \\2
v29=[1, 2, 4, 5, 8, 11, 21, 24, 27, 28]; \\10
v31=[12, 13, 15, 16, 17, 18, 20, 21]; \\8
v37=[2, 4, 8, 10, 14, 17, 19, 20, 22, 27, 29, 30, 32, 35]; \\14
286720 formulae expected

Эта таблица используется для однократной генерации добавок с помощью Китайской теоремы об остатках.
Посмотрите, как мало добавок!
Всего 286720 штук.

Добавки легко генерируются и сохраняются в файл, а затем используются для поиска кандидатов.

Г. Петухову порадоваться надо такому количеству добавок :)
Он всегда говорил, что при малом количестве добавок кортежи ищутся быстрее.
Угу!
Проверяются быстрее, да.
Но не ищутся быстрее!

Чем меньше добавок, тем меньше кандидатов, тем меньше шансов найти кортеж.

---

The TBEG BOINC project maintains the database
https://boinc.tbrada.eu/spt/explore.php

Спросила вчера Квена, известен ли не симметричный 27-tuplet.

Он поискал и ... не нашёл.
Нашёл только информацию о теоретическом минимальном диаметре такого кортежа, он равен 120.

Ну вот тривиальная не симметричная 27-ка из последовательных простых чисел с диаметром 120

17: [0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30, 36, 42, 44, 50, 54, 56, 62, 66, 72, 80, 84, 86, 90, 92, 96, 110, 114, 120]

Нетривиальная, похоже, не найдена.

Да, посмотрела сайт
Prime k-tuplets & Primzahlen
https://pzktupel.de/ktuplets.php

Очень интересный!
Там написано, что последний известный k-tuplet имеет длину 21.

Вот полная информация о 21-tuplets

Prime 21-Tuplets

Last updated: 27 December 2018

Smallest & first known to given pattern

622803914376064301858782434517 + d, d = 0, 4, 6, 10, 12, 16, 24, 30, 34, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 66, 70, 72, 76, 82, 84
(30 digits, December 27, 2018, Raanan Chermoni & Jaroslaw Wroblewski)

248283957683772055928836513589 + d, d = 0, 2, 8, 12, 14, 18, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 50, 54, 60, 68, 72, 74, 78, 80, 84
(30 digits, 1 Aug 2016, Raanan Chermoni & Jaroslaw Wroblewski)

138433730977092118055599751669 + d, d = 0, 2, 8, 12, 14, 18, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 50, 54, 60, 68, 72, 74, 78, 80, 84
(30 digits, 8 Oct 2015, Raanan Chermoni & Jaroslaw Wroblewski)

First non-trivial known to given pattern
39433867730216371575457664399 + d, d = 0, 2, 8, 12, 14, 18, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 50, 54, 60, 68, 72, 74, 78, 80, 84
(29 digits, 8 Jan 2015, Raanan Chermoni & Jaroslaw Wroblewski)

{29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113}

Ярослав Врублевский активно участвовал в поиске этих кортежей.

---

The TBEG BOINC project maintains the database
https://boinc.tbrada.eu/spt/explore.php

Приведу цитаты с указанного сайта очень важные в контексте нашего проекта.

Prime k-tuplets

We can go on to define prime quintuplets, sextuplets, septuplets, octuplets, nonuplets, and so on.
I had to go to the full Oxford English Dictionary for the last one − the Concise Oxford jumps from 'octuplets' to 'decuplets'. The OED also defines 'dodecuplets', but apparently there are no words for any of the others.
Presumably I could make them up, but instead I shall use the number itself when I want to refer to, for example, prime 11-tuplets. I couldn't find the general term 'k-tuplets' in the OED either,
but it is the word that seems to be in common use by the mathematical community.
For now, I will define a prime k-tuplet as a sequence of consecutive prime numbers such that the distance between the first and the last is in some sense as small as possible.
If you think I am being too vague, there is a more precise definition later on.
At this site I have collected together what I believe to be the largest known prime k-tuplets for k = 2, 3, 4, ..., 20 and 21. I do not know of any prime k-tuplets for k greater than 21,
except for the ones that occur near the beginning of the prime number sequence.

Definition

A prime k-tuplet is a sequence of k consecutive prime numbers such that in some sense the difference between the first and the last is as small as possible.
The idea is to generalise the concept of prime twins. More precisely: We first define s(k) to be the smallest number s for which there exist k integers b1 < b2 < ... < bk, bk − b1 = s and,
for every prime q, not all the residues modulo q are represented by b1, b2, ..., bk. A prime k-tuplet is then defined as a sequence of consecutive primes {p1, p2, ..., pk} such that for every prime q,
not all the residues modulo q are represented by p1, p2, ..., pk, pk − p1 = s(k).
Observe that the definition might exclude a finite number (for each k) of dense clusters at the beginning of the prime number sequence
− for example, {97, 101, 103, 107, 109} satisfies the conditions of the definition of a prime 5-tuplet,
but {3, 5, 7, 11, 13} doesn't because all three residues modulo 3 are represented.
________________________________________
Patterns of Prime k-tuplets

The simplest case is s(2) = 2, corresponding to prime twins: {p, p + 2}.
Next, s(3) = 6 and two types of prime triplets: {p, p + 2, p + 6} and {p, p + 4, p + 6}, followed by s(4) = 8 with just one pattern: {p, p + 2, p + 6, p + 8} of prime quadruplets.
The sequence continues with s(5) = 12, s(6) = 16, s(7) = 20, s(8) = 26, s(9) = 30, s(10) = 32, s(11) = 36, s(12) = 42, s(13) = 48, s(14) = 50, s(15) = 56, s(16) = 60, s(17) = 66 and so on.
It is number A008407 in N.J.A. Sloane's On-line Encyclopedia of Integer Sequences.

---

The TBEG BOINC project maintains the database
https://boinc.tbrada.eu/spt/explore.php

А между тем, программа работает на Ахиллесе-3, и... до сих пор не найдено ни одной центральной 11-ки!

Замечу, что в 21-х в BOINC-проекте не каждый день находятся центральные 11-ки.
А тпм ведь мощностей поболее.
И преемственных паттернов 21-к там 30 штук!

---

The TBEG BOINC project maintains the database
https://boinc.tbrada.eu/spt/explore.php

Познакомилась я с ИИ, который в поиске Гугла.

Ох, круто!! (это сарказм).
Сделала запрос в поиске "27-tuplets".
ИИ выдал три различных значения: музыкальное, математическое и третье уж не помню.
Я отвечаю, что меня интересует математическое значение, а конкретно: найден ли не симметричный 27-tuplet.
Тут он понёс такую ахинею!

Вот интересно: сейчас - после того, как я ему всё втолковала про 27-tuplets, - он будет нести такую же ахинею на этот запрос?
Попробуйте, господа!
Наверняка ничего не изменилось, потому что в его обучающей базе всё, как прежде.
Ничего из того, что я ему втолковала, он не запомнил и не будет знать до тех пор, пока это не внесут в его базу.

Совершенно напрасно в поиск посадили ИИ !!
Ну, в Яндексе, по крайней мере, пишут, что возможны неточности в ответах.
Писали, когда я искала и Алиса отвечала.
Может быть, сейчас уже не пишут.

Так вот: не доверяйте ответам ИИ в поиске Гугла ни на йоту!

Дальше я показала ему Техническое задание, которое пришлось передавать маленькими порциями, потому что там ограничения на объём сообщения.
В общем, пообщались.
Написал он мне скрипт на PARI/GP для многопоточной обработки.
Скрипт, конечно же, не работает!

Написал и программу на С++.
Ну, эту я даже пробовать не стала, потому что у меня ещё и компилятора нет, надо его скачивать.
Но по скрипту на PARI/GP я уже поняла, что и код на С++ работать не будет однозначно.
А отлаживать программу на С++ я вообще не умею.
Значит, это дохлый номер.

Да-а-а, очень печальный итог общения с этим ИИ.

Ещё забыла: даю ему ссылку на Техническое задание здесь, в блоге.
Он отвечает, что не может читать сторонние ресурсы.
Qwen тоже так сначала говорил, а сейчас читает!
По крайней мере, мои блоги читает.
Пришлите мне копию, - говорит ИИ.
Шлю копию, ответа нет.
Понимаю, что копия просто не прошла.
Спрашиваю ИИ, почему не отвечает.
Он пишет: "Что-то пошло не так. Пришлите мне копию вашего Технического задания."
Ладно, сама догадалась, что всё ТЗ не принимается, делаю маленькую копию начала ТЗ и отправляю.
Это проходит.

Вот такие у нас бесплатные ИИ!
Дурдом!!!

---

The TBEG BOINC project maintains the database
https://boinc.tbrada.eu/spt/explore.php

Чтобы не быть голословной, покажу скрипт на PARI/GP для многопоточной обработки, который написал ИИ.

Он просто вставлял свои строки в мой код.

\\ ПОИСК 11-К В 27-КЕ НА ПЕРИОДЕ 37# (МНОГОПОТОЧНЫЙ ПО k)
\l 27period37_res.txt;
default(timer, 1);
allocatemem(2^28);

\\ Настройте под свой процессор (например, 4, 8, 12)
default(nbthreads, 8); 

pt =;
pt11 =;
period = 7420738134810; 
print("period = ", period);

np1 = 10817938347951;
np2 = 10817938367950;

res = read("dob27P37.bin");
print("number form = ", #res);

\\ 1. Объявляем функцию для работы потока отдельно
check_period(k, res_local, pt_local, pt11_local, period_local) = {
  my(base = k * period_local, bpt, l, vmy = vector(70), pat11 = vector(11), local_results = []);
  
  for(i = 1, #res_local,
    bpt = base + res_local[i];
    
    \\ Начало поиска 11-к
    if(ispseudoprime(bpt + pt_local[9]) && ispseudoprime(bpt + pt_local[19]),
      l = 0; 
      forprime(p = bpt + pt_local[9], bpt + pt_local[19], l++; vmy[l] = p; );
      if(l == 11,
        for(m = 2, 11, pat11[m] = vmy[m] - vmy[1]; );
        if(pat11 == pt11_local, 
          local_results = concat(local_results, [[vmy[1], pat11]]);
        ); 
      );
    );
  );
  return(local_results);
};

print("Запуск параллельного перебора по k...");

\\ 2. Запускаем параллельный цикл
parfor(k = np1, np2,
  check_period(k, res, pt, pt11, period),
  found_data, 
  if(#found_data > 0,
    for(r = 1, #found_data,
      print(found_data[r][1], ": ", found_data[r][2]);
    );
  );
);

print("Поиск полностью завершен.");

Это уже второй вариант скрипта, первый у меня не сохранился.
В первом была какая-то ошибка с фигурными скобками.
Он исправил это так: убрал внешнюю пару фигурных скобок.
Вот что из этого получилось, ошибок вылезло в три раза больше!

Дальше я не стала отлаживать, написала, что меня не устраивает переписывание скриптов раз, два, и т. д. до бесконечности.

С Квеном я уже как-то сработалась :)
Он меня хорошо понимает.
Ошибки сразу исправляет в том направлении, которое я ему говорю.
Но это, когда я сама понимаю, в чём ошибка.

---

The TBEG BOINC project maintains the database
https://boinc.tbrada.eu/spt/explore.php

Сделала второй поток.

Перешла на поиск на периоде 41#.
Добавок пока не сильно много: 5734400 штук.
Легко генерируются и сохраняются в файл, а затем используются в поиске кандидатов.

Показываю программу поиска, это я тестирую пока на черепашке

\\ ПОИСК 11-К В 27-КЕ НА ПЕРИОДЕ 41# С ГОТОВЫМИ ДОБАВКАМИ

\l 27period41_res.txt;
default(timer,1);
allocatemem(2^30);

{pt=[0, 6, 12, 36, 90, 96, 102, 120, 132, 162, 180, 186, 210, 216, 222, 246, 252, 270, 300, 312, 330, 336, 342, 396, 420, 426, 432];
pt11=[0, 30, 48, 54, 78, 84, 90, 114, 120, 138, 168];

period=304250263527210; \\ 41#
k=10817938311481;
vmy = vector(70);
pat11 = vector(11);

res = read("dob27_41p.bin"); \\ читаем файл с добавками
print("number form = ",#res);

    for(i=1, #res,
    bpt=res[i];
    for(j=k+8,k+12,      
      X = (bpt + j*period);

    \\ начало поиска 11-к
      if(ispseudoprime(X+pt[9]) && ispseudoprime(X+pt[19]),
      l=0; 
      forprime(p=X+pt[9],X+pt[19], l++; vmy[l]=p; );
      if(l==11, print(X);
      for(m=2,11, pat11[m]=vmy[m]-vmy[1]; );
      if(pat11==pt11, print(vmy[1],": ",pat11); ); 
      ); \\ if l==11
    ); \\ if ispseudoprime
  );
);
print("last kandidat = ",X);
}

Здесь программа выводит кандидатов перед финальной проверкой на кортеж, их довольно много.
Ну вот, например, из консоли такие кандидаты

. . . . . . . . 
3291360582092111011790748887
3291360582091961951827586777
3291360582092138607117237617
3291360582093071308880090477
3291360582092639101023860327
3291360582092866581121845467
3291360582092823257601955817
3291360582092054588637666437
3291360582091902894269901497
3291360582091909021738668917
3291360582091806173678784347
3291360582092895323648402057
3291360582092011915593732917
3291360582091699888196361227
last kandidat = 3291360582092957426786599157
time = 7min, 22,481 ms.

То есть кандидаты прошли предварительную фильтрацию, но финальную проверку не проходят - кортежа нет!
Не забываем: это проверяется центральная 11-ка, сидящая в 27-ке.

Ещё здесь увеличился диапазон поиска, буду искать подальше в этом потоке.
Есть подозрение, что 27-ка будет далеко, может быть, в 29-30-значных или даже подальше.
Но она будет!
В этом я не сомневаюсь.
Если я не найду, найдут другие.

---

The TBEG BOINC project maintains the database
https://boinc.tbrada.eu/spt/explore.php

Господа!

Пока никаких откликов на наше с Квеном Техническое задание.
Жаль!
Квен высказал полную готовность обсуждать все отклики и предложения.
Но их нет!
Обсуждать нечего.
Но мы с Квеном не отчаиваемся, мы работаем дальше!

Я написала письмо одному форумчанину с dxdy.ru (не буду его называть) с просьбой запостить Техническое задание в моей теме "Симметричные кортежи из последовательных простых чисел".
Увы!
Я не получила никакого ответа.

Можно не публиковать всё Техническое задание, оно довольно больше, а просто дать на него ссылку
https://boinc.mak.termit.me/odlk2025/forum_thread.php?id=85&postid=2215

Адресую эту просьбу всем, кто читает эту тему и может запостить Техническое задание на форуме dxdy.ru.
Например. Ядряра, скорее всего, эту тему читает.
Вот его и прошу опубликовать Техническое задание.

Тут ведь ещё интересно скормить ТЗ другим ИИ, более крутым, чем, к примеру, тот, что сидит в поиске Гугла.
Этот совсем не крутой, а примерно такой же, как наша Алиса.
С Квеном его не сравниваю.
Квен уже "свой", значит, хороший :)
Повторюсь: мы с ним сработались.
Я его сейчас скриптами особо не мучаю.
Но вот быстро найти ошибку в моём скрипте - это он может.
Сегодня нашёл, например.
Я замучилась искать ошибку, а она была в банальной опечатке: вместо "period" написала "perbod".
Вот и попробуй тут найти ошибку!
Система-то не указывает на опечатку, она локализует ошибку совсем в другом месте.
Ну вот, пошла к Квену за помощью.
Он нашёл ошибку мгновенно!

---

The TBEG BOINC project maintains the database
https://boinc.tbrada.eu/spt/explore.php

Кстати, о птичках...

Насколько понимаю, Ядряра общается с тем самым ИИ, который сидит в поиске Гугла.
Ну вот, очень интересно пощупать его с другой стороны - со стороны Ядряры.
Со своей стороны я его уже пощупала и вывод сделала об этом ИИ.
Интересно было бы посмотреть. что он предложит Ядряре на наше Техническое задание.

Ядряра, пожалуйста, спросите его сначала, что он знает о симметричных и не симметричных 27-tuplets (какой теоретический минимальный диаметр, найдены ли).
Скорее всего, он ничего не знает!

Имейте в виду, что сам термин "tuplet" предполагает, что кортеж состоит из последовательных простых чисел.

Читайте сайт
Prime k-tuplets & Primzahlen
https://pzktupel.de/ktuplets.php

---

The TBEG BOINC project maintains the database
https://boinc.tbrada.eu/spt/explore.php